三角形法则（Triangle Law）通常用于向量的加法和减法。它描述了两个向量之和的几何构造，如下所示： 给定向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的和 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ 可以通过以下步骤进行构造： 1、将向量 $\vec{a}$ 作为起始...
自然对数（natural logarithm）是以数学常数 $e$（约等于 2.71828）为底的对数，通常表示为 $\ln$。自然对数具有一些重要的运算法则，这些法则在数学、物理和工程等领域中有广泛应用。以下是一些常见的自然对数运算法则： 乘法法则：$$\ln(xy) = \ln(x) + \ln...
黑暗森林法则（Dark Forest Theory）并非数学或科学定律，而是源自刘慈欣的科幻小说《三体》中关于宇宙文明的一种观点。黑暗森林法则试图解释为什么尽管宇宙中可能存在许多其他文明，但我们至今仍未与它们取得联系的原因。黑暗森林法则建立在以下假设基础上： 宇宙中存在许多其他文明。 每个文明都有自...
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中一个非常有用的法则，用于计算具有不定型（indeterminate forms）的极限。不定型指的是在求极限过程中，数值形式上无法直接确定，例如 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$。 洛必...
李氏三角恒等式（Lee's Identity）是组合数学中的一个有趣的恒等式。它描述了 Pascal 三角形中各数值之间的一种关系。李氏三角恒等式如下： $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-2}{k-2} + \cdots + \binom{k-...
斯特灵公式（Stirling's formula）是一个用于估算阶乘（factorial）的渐近公式。它是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵（James Stirling）的名字命名的。这个公式在概率论、统计学、组合数学和数值分析等领域具有重要应用。 斯特灵公式的基本形式为： $$n! \s...
全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一个重要公式，用于计算一个事件发生的总概率。假设有一组互斥且完备的事件 ${B_1, B_2, ..., B_n}$，意味着它们之间两两互斥（不可能同时发生），且这些事件的并集构成了整个样本空间。现在，我们关心另一个事件 $A...
婆罗摩笈多公式（Brahmagupta's Formula）是一个关于四边形的面积计算公式，由印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）于公元 7 世纪提出。 公式如下： 给定一个四边形，其边长分别为 $a$、$b$、$c$ 和 $d$，半周长（semiperimeter）为： $$s = \f...
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），是一个关于微积分的基本公式，描述了定积分和原函数之间的关系。 牛顿-莱布尼茨公式可以表示为： $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ 其中 $f(x)$ 是一个可积函数，$F(x)$ 是 ...
默比乌斯反演（Möbius inversion）是数论中一个重要的公式，用于解决求和问题。给定两个数论函数 $f(n)$ 和 $g(n)$，如果它们满足以下关系： $$f(n) = \sum_{d | n} g(d)$$ 其中求和是在所有整数 $d$ 上进行的，满足 $d$ 是 $n$ 的...