狄利克雷函数

狄利克雷函数（Dirichlet function）：是一个在有理数集合上为1，在无理数集合上为0的函数。这个函数由德国数学家彼得·古斯塔夫·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出，被认为是数学中最神奇的函数之一。

狄利克雷函数包括两种形式：第一类狄利克雷函数 和第二类狄利克雷函数 。

第一类狄利克雷函数 定义为：

其中， 是虚数单位。

第二类狄利克雷函数 定义为：

狄利克雷函数在数论、调和分析、模形式等领域有着广泛的应用。它们在表示连续周期函数的傅里叶级数时有重要作用，同时也在研究数学物理问题、泛函分析等方面发挥着重要的作用。