狄利克雷函数（Dirichlet function）：是一个在有理数集合上为1，在无理数集合上为0的函数。这个函数由德国数学家彼得·古斯塔夫·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出，被认为是数学中最神奇的函数之一。
狄利克雷函数包括两种形式：第一类狄利克雷函数 $D(x)$ 和第二类狄利克雷函数 $d(x)$。
第一类狄利克雷函数 $D(x)$ 定义为：
$$D(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx} = \frac{1}{1-e^{ix}}+\frac{1}{1-e^{-ix}}$$
其中，$i$ 是虚数单位。
第二类狄利克雷函数 $d(x)$ 定义为：
$$d(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi x}$$
狄利克雷函数在数论、调和分析、模形式等领域有着广泛的应用。它们在表示连续周期函数的傅里叶级数时有重要作用，同时也在研究数学物理问题、泛函分析等方面发挥着重要的作用。