洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中一个非常有用的法则，用于计算具有不定型（indeterminate forms）的极限。不定型指的是在求极限过程中，数值形式上无法直接确定，例如 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$。 洛必...
李氏三角恒等式（Lee's Identity）是组合数学中的一个有趣的恒等式。它描述了 Pascal 三角形中各数值之间的一种关系。李氏三角恒等式如下： $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-2}{k-2} + \cdots + \binom{k-...
斯特灵公式（Stirling's formula）是一个用于估算阶乘（factorial）的渐近公式。它是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵（James Stirling）的名字命名的。这个公式在概率论、统计学、组合数学和数值分析等领域具有重要应用。 斯特灵公式的基本形式为： $$n! \s...
全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一个重要公式，用于计算一个事件发生的总概率。假设有一组互斥且完备的事件 ${B_1, B_2, ..., B_n}$，意味着它们之间两两互斥（不可能同时发生），且这些事件的并集构成了整个样本空间。现在，我们关心另一个事件 $A...
婆罗摩笈多公式（Brahmagupta's Formula）是一个关于四边形的面积计算公式，由印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）于公元 7 世纪提出。 公式如下： 给定一个四边形，其边长分别为 $a$、$b$、$c$ 和 $d$，半周长（semiperimeter）为： $$s = \f...
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），是一个关于微积分的基本公式，描述了定积分和原函数之间的关系。 牛顿-莱布尼茨公式可以表示为： $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ 其中 $f(x)$ 是一个可积函数，$F(x)$ 是 ...
默比乌斯反演（Möbius inversion）是数论中一个重要的公式，用于解决求和问题。给定两个数论函数 $f(n)$ 和 $g(n)$，如果它们满足以下关系： $$f(n) = \sum_{d | n} g(d)$$ 其中求和是在所有整数 $d$ 上进行的，满足 $d$ 是 $n$ 的...
柯西-阿达马（Cauchy-Hadamard）公式用于确定幂级数（power series）的收敛半径。幂级数是形如以下形式的级数： $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$ 其中 $a_n$ 是级数的系数，$z$ 是复数，$z_0$ 是幂级数的中心。 柯西-阿达马...
德摩根定律（De Morgan's Laws）是一组关于逻辑运算符（与、或、非）的转换规则。它们在布尔代数、集合论和命题逻辑中都有应用。德摩根定律包括两个基本公式： 非 (A 与 B) 等价于 (非 A) 或 (非 B) 非 (A 或 B) 等价于 (非 A) 与 (非 B) 在符号表示中，我们可以...
定比分点（Dividing a line segment in a given ratio）是指在平面几何中，将一条线段按照给定的比例进行分割。假设我们有一条线段AB，我们想要将其分割成m:n的比例，其中m和n是给定的正数。我们可以用定比分点公式来找到这个分割点P。 假设线段AB的两个端点的坐标分别...