极值定理是数学分析中的一个重要定理，它指出在一定条件下函数的最大值和最小值必然存在。根据不等式推出的极值定理是指，如果一个函数在某个区间内满足一定的不等式条件，则该函数在该区间内必须存在最大值和最小值。
具体来说，假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内满足不等式 $m\leq f(x)\leq M$，其中 $m$ 和 $M$ 都是常数。则函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上必须存在最大值和最小值。此外，最大值和最小值的取值分别为 $M$ 和 $m$，即 $f(x)$ 的最大值和最小值分别在 $x=a$ 与 $x=b$ 处取得。
这个定理可以帮助我们确定某个函数在特定条件下的最值，有助于我们解决一些具体的问题。需要注意的是，该定理只适用于满足不等式条件的函数。对于一些不满足不等式条件的函数，就不一定存在最大值或最小值。