第一定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
哥德尔不完备定理是由奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔于1931年发表的一项定理，它证明了任何形式化的数学系统都存在无法被证明的陈述，即这个系统内部无法证明自己的一些真实性命题。
具体来说，哥德尔不完备定理指出，对于任意一个能够用一些符号来表达的数学系统，都存在一些命题无法在该系统内得到证明或证伪。这个命题必须是真实的，而且不能被其他公理或定理所推导出来，因此它被称作该系统内的“不可证明命题”。
这个定理的含义非常深刻，它表明了人类理解数学的局限性。也就是说，无论我们用什么样的公理体系来描述数学，我们都无法避免存在无法证明或证伪的真实命题。这也对人类对于真理的认识提出了挑战，因为我们无法确定这些不可证明命题的真实性。
哥德尔不完备定理在逻辑学和数学领域内有着广泛的应用，也对哲学、计算机科学等领域产生了深远的影响。