托勒密定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个圆周四边形的对角线之积与它的两组对边的乘积之和的关系。 具体地说，设 $ABCD$ 为一个圆周四边形，其对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $P$，则有： $$AB\cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$$ 其中...
夹逼定理（也称为夹紧定理或挤压定理）是微积分中的一个基本定理，它用于证明极限的存在性及计算等问题。 设函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足以下条件： 在某个区间 $(a,b)$ 内定义； 对于所有的 $x\in(a,b)$，有 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$。 如果 $...
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它与中值定理紧密相关，常用于证明其他数学定理以及计算积分。 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $c$，使得 $$\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$$ 其中，$f...
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是中值定理的特殊情况。 具体来说，设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件： 在闭区间 $[a,b]$ 内连续； 在开区间 $(a,b)$ 内可导； $f(a)=f(b)$。 则在开区间 $(a,b)$ 内，至少存在一点 $c\in(a,b)$，使得 $f'(c)=...
零点定理是指对于任何一个连续的、光滑的函数 $f(x)$，在定义域内至少存在一点 $c$，使得 $f(c) = 0$。也就是说，函数 $f(x)$ 在定义域内必有一个零点。 数学上也称之为零点定理或根的存在性定理。它在实际问题的求解中具有广泛的应用，例如在求解方程、函数图像的绘制、优化问题等方面都有...
动量定理是指：一个物体的动量变化量等于它所受合外力的冲量。 具体来说，设一个质量为m的物体，其初速度为v1，末速度为v2，所受合外力为F，在时间Δt内作用于物体上的冲量为I，则根据牛顿第二定律和定义，可得： F = ma $I = F\Delta t = m\Delta v = mv_2...
高斯定理是指：电场通量与电场源的电荷量之间存在一种关系，即电场的通量等于电场源所包含电荷量的代数和的1/ε0倍，其中ε0为真空介电常数。 具体来说，设一个闭合曲面S围绕着一定区域的电荷分布，电场强度在曲面S上处处垂直于曲面，则曲面S内的电场通量ΦE等于曲面S所...
直角三角形斜边中线定理是指：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 具体来说，设ABC为一个直角三角形，其中∠C为直角，CD为斜边AB上的中线，则有CD=AB/2。 这个定理可以用勾股定理来进行证明。设直角三角形ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有勾股定理a²+...
动能定理是指：一个物体的动能变化量等于它所受合外力沿着它的位移做功的量。 具体来说，如果一个质量为m的物体从速度v1运动到速度v2，那么它的动能变化量ΔK等于它所受的合外力F沿着它的位移Δx做功的量W，即： ΔK = K2 - K1 = W = FΔx...
对于任意一个无向图G，有V-E+F=2，其中V表示图中的顶点数，E表示图中的边数，F表示图中的面数（包括无限远处的面）。 具体来说，对于欧拉定理，我们可以通过将一个无向图划分成若干个连通分量来进行证明。对于单个连通分量，我们可以通过数学归纳法证明它满足欧拉定理。当一个连通分量中有多个面时，我们可以将...