基本初等函数之幂函数

一般地，形如y=x^α(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x⁰ 、y=x¹、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x y=x⁰时x≠0）等都是幂函数。一般形式如下：

（ α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。）

性质

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

幂函数取正值

当α>0时，幂函数y=x^α有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小；

幂函数取负值

当α<0时，幂函数y=x^α有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X^-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

幂函数取零

当α=0时，幂函数y=x^a有下列性质：

y=x⁰的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。