Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间的一种不等式，它是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的一个推广。设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，$1<p,q<n$，$0<\alp...
Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是一类重要的函数不等式，用于描述函数空间中的正函数。它的一般形式可以写成以下公式： $$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u(x)|^p}{|x|^{\alpha p}},dx \leq C \int_{\mat...
反幂平均不等式（Reverse Power Mean Inequality）是幂平均不等式的一个推广。设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个正实数，$p$ 是一个实数且 $p > 0$，则反幂平均不等式可以表示为： $$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1...
反伯努利不等式（Reverse Bernoulli's inequality）是伯努利不等式的一种推广。设 $x$ 是一个实数，且 $n$ 是一个正整数且 $n\geq 2$，则反伯努利不等式可以表示为： $$(1+x)^{-n} \geq 1 - nx$$ 等号成立当且仅当 $x=0$。 反伯努利...
伯努利不等式（Bernoulli's inequality）是一种用于计算幂次方的不等式。设 $x$ 是一个实数，且 $n$ 是一个正整数，则伯努利不等式可以表示为： $$(1+x)^n \geq 1 + nx$$ 等号成立当且仅当 $x=0$ 或 $n=1$。 伯努利不等式是一种基本的不等式，在各...
闵可夫斯基不等式（Minkowski's inequality）是一种用于计算多个实数的和的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个实数，则闵可夫斯基不等式可以表示为： $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i...
赫尔德不等式（Hölder's inequality）是一种用于计算多个非负实数的乘积的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个非负实数，并且满足 $p,q > 1$，以及 $\frac{1}{p} + \fra...
杨氏不等式（Young's inequality）是一种用于计算两个非负实数的乘积的不等式。对于任意的实数 $a,b \geq 0$，以及任意的 $p,q > 0$，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则杨氏不等式可以表示为： $$ab \leq \frac{...
琴声不等式（Chernoff bound）是概率论中一个经典的不等式，它给出了一组独立随机变量的和超出其期望值的概率的一个上界。具体来说，设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是 $n$ 个独立的随机变量，且对于每个 $i$，$X_i$ 取值在 $[0,1]$ 区间内。设 $S = X_...
卡尔松不等式（Karlsson's inequality）是一种用于计算一组数的平方和的不等式。对于 $n$ 个非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，卡尔松不等式可以表示为： $$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(1^2 + 1^2 + \cdots...