对于多元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的偏导数表示在某个变量 $x_i$ 不变的情况下，函数关于另一个变量 $x_j$ 的变化率，计算公式如下： $$\frac{\partial f}{\partial x_j} = \lim_{\Delta x_j \to 0}\frac{f(...
对于多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其在某个点 $(x_{1,0}, x_{2,0}, ..., x_{n,0})$ 处的导数可以用梯度和海森矩阵进行表示。 梯度：梯度是一个向量，表示函数在某个点处增加最快的方向和速率。梯度可以用偏导数表示，计算公式如下： $$\nabla...
对于偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$，表示在 $y_0$ 不变的情况下，函数在 $x_0$ 处关于 $x$ 的变化率，计算公式如下： $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \t...
常数函数：$y = c$ 的导数为 $f'(x) = 0$。 幂函数：$y = x^n$ 的导数为 $y' = nx^{n-1}$，即 $f'(x) = nx^{n-1}$。 指数函数：$y = a^x$（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）的导数为 $y' = a^x \ln a...
函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。如果函数关于原点对称，则称其为奇函数；如果函数关于 y 轴对称，则称其为偶函数。 具体而言，函数的奇偶性可以通过以下公式进行判断： 对于函数 y = f(x)，如果对于任意的 x ∈ 定义域 D，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 是奇...
函数的单调性是指函数在其定义域内的增减性质，即函数值随自变量增大或减小时的变化情况。如果函数在其定义域内满足单调递增，那么其函数值随自变量的增大而增大；如果函数在其定义域内满足单调递减，那么其函数值随自变量的增大而减小。 具体而言，函数的单调性可以通过以下公式进行判断： 1、对于函数 y = f(x...
空心方阵公式（Hollow square formula）是一种用于计算生成空心方阵的规律的公式。空心方阵是一种由数字或字母构成的图形，其中中间一部分为空，其余部分被填满。空心方阵公式的表达式如下： 对于一个$n$阶的空心方阵，将其视为$n$个$n$阶方阵叠加而成。第$k$个方阵可以表示为： $$A...
彼得潘公式（Peter Pan Formula）是一种用于计算小孩的理想体重的经验公式。这个公式得名于著名的儿童文学作品《彼得·潘》（Peter Pan），因为这个公式主要适用于2岁到18岁之间的儿童。彼得潘公式的表达式如下： 对于男孩： $${\rm 理想体重（公斤）} = 2 \t...
$$T_c = \frac{9}{5}T_b - \frac{8}{5}T_f$$
门捷列夫公式（Mendeleev's equation）是用于计算物质的临界温度（即液态与气态相平衡的温度）的经验公式。该公式由俄国化学家门捷列夫于1884年提出，具有一定的实用价值。 其中，$T_c$表示物质的临界温度，$T_b$表示物质的沸点，$T_f$表示物质的冰点。这里的温度单位可以使用摄氏...
合格率（Pass rate）通常指通过某个考试或测试的人数与参加考试或测试的总人数之间的比例。 例如，如果有100人参加考试，其中70人通过考试，那么合格率为： 合格率 = 70 / 100 = 0.7 = 70%...