百分比是数学中常用的一个概念，表示一个数值相对于另一个数值的比例关系，通常用百分数的形式表示，即将比例关系乘以100得到的结果。以下是百分比的计算方法： 百分数转化为小数：将百分数除以100，即可将其转化为小数。例如，75%可以转化为0.75。 小数转化为百分数：将小数乘以100，即可将其转化为百分...
排列和组合是概率论和组合数学中经常用到的概念，下面是它们的基本公式： 排列公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$ 该公式表示在n个不同的元素中，选取m个元素进行排列的方案数，即排列数，用$A_n^m$表示。 组合公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ ...
以下是一些常用的三角函数积分公式： $\int \sin x dx = -\cos x + C$ 该公式表示对正弦函数进行积分，其结果为负的余弦函数加上常数项。 $\int \cos x dx = \sin x + C$ 该公式表示对余弦函数进行积分，其结果为正的正弦函数加上常数项。 $\int \...
$\int k dx = kx + C$ （常数函数的积分） $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ （幂函数的积分） $\int e^x dx = e^x + C$ （指数函数的积分） $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C...
$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$$
分部积分公式是微积分中的一种常用积分方法，用于求解由两个函数的乘积组成的积分。 其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数，$u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别是它们的导数。 使用分部积分公式时，首先需要选择一个函数作为 $u(x)$，另一个函数的导数作为 $v'(x)$。接着，将上述...
狄利克雷函数是指两个不同数论函数的混合函数。 狄利克雷函数的二元形式定义如下： $$\begin{aligned} D(x,y) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)\sin(ny)}{n} \\ &= \frac{1}{2} \left( \fr...
设首项为 $a_1$，公比为 $r$，则等比数列的通项公式为 $a_n=a_1r^{n-1}$。 设等比数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，则有： $$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ 将通项公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 代入上式得： ...
对于奇数求和，我们可以考虑前 $n$ 个奇数的和。前 $n$ 个奇数可以表示为 $1, 3, 5, \dots, 2n - 1$。 求和公式如下： $$S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$$ 可以发现奇数和的结果总是一个完全平方数。通过观察前几个奇数和，我们可以找到...
累加公式是指用于计算一系列数字和的公式。 以下是一些常见的累加公式： 等差数列求和公式：对于等差数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，其求和公式为 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ 其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ ...
卡拉比猜想（Calabi conjecture）是一条关于几何分析的著名猜想，由意大利数学家尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）在1950年代提出。这个猜想涉及到 Kähler 流形的黎曼几何与复几何的关系，特别是关注 Ricci 曲率为零的 Kähle...