科斯定理（又称余弦定理）是三角学中的一个基本定理，它描述了一个三角形中一个角的余弦值与该角所对边与其余两边的长度关系。 具体来说，设三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a$、$b$、$c$，且 $\angle C$ 为夹角，则有： $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}...
弦切角定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了两条相交弦所夹角的大小与其所对的弧的大小的关系。 具体来说，设圆 $O$ 为一个圆，$AB$、$CD$ 为它的两条相交弦，它们的交点为 $P$，则 $\angle APB$ 与 $\angle CPD$ 的大小相等，并且它们所对的圆周弧的大小也相等。 弦...
圆周角定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了圆周上两个点所对的圆周角大小与它们所在的弧所对的圆心角大小相等。 具体来说，设 $O$ 为圆心，$A$、$B$、$C$ 为圆上三点，其中 $\angle ABC$ 是圆周角，则 $\angle AOC$ 是以弧 $AC$ 所对的圆心角，$\angle A...
戴维南定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个三角形内接圆的半径与三角形的面积和边长的关系。 具体地说，设 $ABC$ 为一个三角形，它的内切圆半径为 $r$，则有： $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$ 其中 $S$ 为三角形的面积，$a$、$b$、$c$ 分别为三角形的三条边长。 ...
托勒密定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个圆周四边形的对角线之积与它的两组对边的乘积之和的关系。 具体地说，设 $ABCD$ 为一个圆周四边形，其对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $P$，则有： $$AB\cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$$ 其中...
夹逼定理（也称为夹紧定理或挤压定理）是微积分中的一个基本定理，它用于证明极限的存在性及计算等问题。 设函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足以下条件： 在某个区间 $(a,b)$ 内定义； 对于所有的 $x\in(a,b)$，有 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$。 如果 $...
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它与中值定理紧密相关，常用于证明其他数学定理以及计算积分。 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $c$，使得 $$\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$$ 其中，$f...
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是中值定理的特殊情况。 具体来说，设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件： 在闭区间 $[a,b]$ 内连续； 在开区间 $(a,b)$ 内可导； $f(a)=f(b)$。 则在开区间 $(a,b)$ 内，至少存在一点 $c\in(a,b)$，使得 $f'(c)=...
零点定理是指对于任何一个连续的、光滑的函数 $f(x)$，在定义域内至少存在一点 $c$，使得 $f(c) = 0$。也就是说，函数 $f(x)$ 在定义域内必有一个零点。 数学上也称之为零点定理或根的存在性定理。它在实际问题的求解中具有广泛的应用，例如在求解方程、函数图像的绘制、优化问题等方面都有...
动量定理是指：一个物体的动量变化量等于它所受合外力的冲量。 具体来说，设一个质量为m的物体，其初速度为v1，末速度为v2，所受合外力为F，在时间Δt内作用于物体上的冲量为I，则根据牛顿第二定律和定义，可得： F = ma $I = F\Delta t = m\Delta v = mv_2...
高斯定理是指：电场通量与电场源的电荷量之间存在一种关系，即电场的通量等于电场源所包含电荷量的代数和的1/ε0倍，其中ε0为真空介电常数。 具体来说，设一个闭合曲面S围绕着一定区域的电荷分布，电场强度在曲面S上处处垂直于曲面，则曲面S内的电场通量ΦE等于曲面S所...
直角三角形斜边中线定理是指：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 具体来说，设ABC为一个直角三角形，其中∠C为直角，CD为斜边AB上的中线，则有CD=AB/2。 这个定理可以用勾股定理来进行证明。设直角三角形ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有勾股定理a²+...
动能定理是指：一个物体的动能变化量等于它所受合外力沿着它的位移做功的量。 具体来说，如果一个质量为m的物体从速度v1运动到速度v2，那么它的动能变化量ΔK等于它所受的合外力F沿着它的位移Δx做功的量W，即： ΔK = K2 - K1 = W = FΔx...
对于任意一个无向图G，有V-E+F=2，其中V表示图中的顶点数，E表示图中的边数，F表示图中的面数（包括无限远处的面）。 具体来说，对于欧拉定理，我们可以通过将一个无向图划分成若干个连通分量来进行证明。对于单个连通分量，我们可以通过数学归纳法证明它满足欧拉定理。当一个连通分量中有多个面时，我们可以将...
在一个三角形中，三条高线、三条中线、三条角平分线、三条垂线、以及三角形三个顶点、重心、外心、垂心、内心共九个点共线。 具体来说，设ABC为一个三角形，AD为BC边上的高线，BE为AC边上的高线，CF为AB边上的高线，则D、E、F三点共线；同时，三角形ABC的垂心H、重心G、外心O、内心I也在同一条直...
在一个向量空间V中，如果有一个子空间W，那么任意一个向量v都可以表示为两个部分的和：一个在子空间W中的向量w和一个在W的补空间中的向量p。即：v=w+p，其中w∈W，p∈W的补空间。 这个定理也可以表示为：V可以表示为W和W的补空间的直和，即V=W⊕(W的补空间)。 ...
在一个三角形中，如果从一个角的顶点引一条线段，把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就称为该角的角平分线。 具体来说，如果在三角形ABC中，从角A的顶点引一条线段AD，使得∠BAD=∠CAD，则线段AD称为∠A的角平分线。根据角平分线定理，角平分线AD将边BC分成两个部分，使...
【线段】用直尺把两点连接起来就得到一条线段，这两点叫做线段的端点。线段AB表示端点是A点和B点的一条线段。 【线段的基本性质】连接两点的所有线中，线段最短，线段的长度可以度量。 【射线】把线段的一端无限延长，就得到一条射线。射线只有一个端点，不可以度量长度。 【直线】把线段的两端无限延长，就得到一条...
【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率和百分比。 【利息】取款时银行多付的钱叫做利息。 【本金】存入银行的钱叫做本金。 【利率】利息与本金的百分比叫做利率。利率由银行规定，有按年计算的，也有按月计算的。 【利息的计算公式】利息=本金×利率×...
【分数线】在分数里，中间的横线叫做分数线。 【分母】在分数里，分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份。 【分子】在分数里，分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 【分数单位】按照分母数字把单位“1”分成相等份数，表示其中一份的数，...