勘根定理

勘根定理是一种求解代数方程的方法，它可以用来确定一个多项式方程的根的个数和范围。勘根定理的原理基于实数域中的中间值定理和复数域中的代数基本定理。

勘根定理的表述如下：

设 $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ 是一个 $n$ 次代数方程，其中 $a_n \neq 0$，则：

1、在 $(-\infty, +\infty)$ 中，方程有 $n$ 个实根（重根算多个）。

2、在 $(-\infty, +\infty)$ 中，方程的正实根数与变号数相等，即多项式 $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ 和 $a_nx^n - a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + (-1)^na_0$ 之间的变号数相等。

3、在复数域中，方程有 $n$ 个根，可以是重根。其中 $k$ 个根属于 $[a, b]$ 区间，当且仅当 $a$ 和 $b$ 之间有 $k$ 个变号。

勘根定理的应用范围十分广泛，可以用来确定方程的解的个数和范围。在实际问题中，我们可以利用勘根定理来判断一个多项式方程是否有解，或者利用其特性来逐步缩小解的范围，从而更快地求解方程的根。