留数定理是复变函数理论中的一条重要定理，它描述了在闭合曲线内部的奇点上的留数与曲线积分之间的关系。以下是留数定理的详细解释：
留数的定义：留数是一个复变函数在其奇点处的某种特殊类型的积分值。对于一个单杆奇点（即一阶极点），它的留数等于函数在该点处的极点值；对于一个多杆奇点（即高阶极点），它的留数等于函数在该点处的洛朗级数的主部系数。
留数定理的表述：设f(z)是一个在以C为边界的区域G中全纯的函数，z0是G中的一点且z0不在C上，那么f(z)在z0处的留数等于f(z)在C上以z0为内点的曲线积分除以2πi，即
$$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$$
其中C是以z0为内点的简单闭合曲线，∮C表示对C上所有点的积分。
留数定理的应用：留数定理可以用来计算一些复杂积分，例如柯西积分、环绕曲线积分等。对于某些积分，通过使用留数定理，可以将积分转化为计算留数的形式，从而简化计算的过程。
留数定理在复变函数理论和许多应用领域都有广泛的应用，例如在物理学、工程学、金融学等领域中都有应用。