大数定理

大数定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值的概率。具体地说，设X1，X2，...，Xn是从同一总体分布中独立地随机取出的n个样本，它们的均值为：

$$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$$

如果总体的均值为μ，方差为σ²，则有下列两种大数定理：

大数定理（弱法则）：当n趋向于无穷大时，样本均值$\bar{X}$以概率1收敛于总体均值μ，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P(|\bar{X} - \mu| < \epsilon) = 1, \quad \epsilon > 0$$

这个定理表明，在试验次数足够多的情况下，我们可以用样本均值来估计总体均值，并且估计的结果准确度越来越高。

大数定理（强法则）：当n趋向于无穷大时，样本均值$\bar{X}$几乎肯定以速率1收敛于总体均值μ，即

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P(\lim_{n \rightarrow \infty} \bar{X} = \mu) = 1$$

这个定理比弱法则更强，它说明样本均值以恒定的速率收敛于总体均值，而不是只以概率1收敛于总体均值。