调和级数是指形如 $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$ 的无穷级数。调和级数的发散可以通过以下定理得到证明：
调和级数 $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} $ 发散。
证明：设 $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$ 为前 $n$ 项的和，我们要证明 $ S_n $ 是无穷大的。
由于 $ S_n$ 是递增的，因此：
$$ S_{2^k} = 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}}{> \frac{1}{2}} + … + \underbrace{\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k+1}+…+\frac{1}{2^{k+1}-1}}_{> \frac{1}{2}} > \frac{k}{2} $$
因此，$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_n} = \infty $，即 $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} $ 发散。