向量运算是指对向量进行各种操作的过程，主要包括向量的加减法、数量积、向量积、混合积等。
向量加减法
向量加减法规定了如何对两个向量进行相加或相减。设有两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的和为$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$，差为$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$。
数量积
数量积，又称点积或内积，是两个向量的数量乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。设有两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的数量积为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别为向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模长，$\theta$为它们的夹角。
向量积
向量积，又称叉积或外积，是两个向量所构成的平行四边形的面积所对应的向量。设有两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的向量积为$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$。
混合积
混合积是三个向量所构成的体积的有向数，也称为三重积。设有三个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)$，则它们的混合积为$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$或$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$，它们的值相等。