圆是平面上的一条封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。圆的面积公式可以通过对圆进行分割和近似计算得出，其中最常见的方法是使用微积分中的积分。
假设圆的半径为 $r$，我们可以将圆分割成许多细小的扇形，每个扇形的面积可以表示为：
$$dA = \dfrac{1}{2}r^2d\theta$$
其中 $d\theta$ 表示扇形的小角度，由于圆是由无数个扇形组成的，因此圆的面积可以表示为所有扇形面积的累加：
$$A = \int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2}r^2d\theta = \dfrac{1}{2}r^2\int_{0}^{2\pi}d\theta = \dfrac{1}{2}r^2\cdot 2\pi = \pi r^2$$
因此，圆的面积公式为 $A=\pi r^2$，其中 $\pi$ 是一个无理数，约等于 3.14159，是圆的周长与直径的比值。