一元三次方程求根公式的推导过程比较复杂，需要借助复数和群论等高级数学工具。以下简单介绍一下这个公式的推导思路。
对于一元三次方程：
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
我们可以将$x$表示为：
$x = \frac{1}{3a}(u+v) - \frac{b}{3a}$
其中，$u$和$v$是两个新的未知数。将$x$的表达式代入方程中，可以得到：
$a(\frac{1}{27a^3}(u+v)^3+\frac{1}{9a^2}(u+v)^2-\frac{bc}{6a^2}(u+v)-\frac{d}{2a})+b(\frac{1}{3a}(u+v)-\frac{b}{3a})^2+c(\frac{1}{3a}(u+v)-\frac{b}{3a})+d=0$
通过化简可以得到：
$u^3+v^3+3uv(\frac{b}{3a}-\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{-4a^3d+b^3c^2+4ab^2c^3-18abc^2d+27a^2d^2}{a^2}})=0$
其中，$\sqrt[3]{\frac{-4a^3d+b^3c^2+4ab^2c^3-18abc^2d+27a^2d^2}{a^2}}$是一个虚数。
我们可以设$w=u+v$，则方程可以进一步化简为：
$w^3+3(\frac{b}{3a})w^2+3(\frac{b^2}{9a^2}-\frac{c}{3a})w-(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a}+\frac{d}{a})=0$
这就是一元三次方程的标准形式，可以使用三次方程的求根公式来求解。解出$w$之后，我们可以回代到$x$的表达式中，得到方程的三个实根：
$x_1 = \frac{1}{3a}(w_1-\frac{b}{3})$
$x_2 = \frac{1}{3a}(w_2-\frac{b}{3})$
$x_3 = \frac{1}{3a}(w_3-\frac{b}{3})$
其中，$w_1,w_2,w_3$分别是$w^3+3(\frac{b}{3a})w^2+3(\frac{b^2}{9a^2}-\frac{c}{3a})w-(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a}+\frac{d}{a})=0$的三个实根。
需要注意的是，由于三次方程的求根公式比较复杂，一般情况下我们并不会使用这个公式来求解一元三次方程，而是采用数值计算方法来求近似解。例如，可以使用牛顿迭代法、二分法、割线法等数值计算方法来逼近方程的实根。这些方法具有计算简便、精度高等优点，被广泛应用于工程、科学、计算机等领域。
以牛顿迭代法为例，其基本思路是通过不断迭代的方式逼近方程的实根。具体步骤如下：
1.选取一个初始值$x_0$，计算$f(x_0),f'(x_0)$。
2.根据牛顿迭代公式计算下一个近似解$x_1$：
$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
3.计算$f(x_1),f'(x_1)$，然后根据牛顿迭代公式计算下一个近似解$x_2$：
$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$
4.重复步骤3，直到达到所需的精度或迭代次数。
在使用牛顿迭代法求解一元三次方程时，我们需要将方程变形为$f(x)=0$的形式，然后求出$f'(x)$的表达式。然后，我们可以根据牛顿迭代公式计算$x$的近似解，最终得到方程的实根。
总之，一元三次方程求根公式的推导比较复杂，但是数值计算方法提供了一种计算简便、精度高的途径，可以在工程、科学、计算机等领域得到广泛应用。