一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式是指解决一元三次方程的通式公式。一元三次方程的标准形式为：

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

其中，$a\neq 0$，$x$为未知数，$a,b,c,d$为已知系数。

一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔达诺首先发现，后来被法国数学家弗拉基利-韦达姆发展成为通式公式。根据公式，一元三次方程的三个实根$x_1,x_2,x_3$可以表示为：

$x_1 = \sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}} + \sqrt[3]{-\frac{bc}{6a^2} + \frac{b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a}} - \frac{b}{3a}$

$x_2 = -\frac{1}{2}(\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}} + \sqrt[3]{-\frac{bc}{6a^2} + \frac{b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a}}) - \frac{b}{3a} + \frac{i\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}} - \sqrt[3]{-\frac{bc}{6a^2} + \frac{b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a}})$

$x_3 = -\frac{1}{2}(\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}} + \sqrt[3]{-\frac{bc}{6a^2} + \frac{b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a}}) - \frac{b}{3a} - \frac{i\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}} - \sqrt[3]{-\frac{bc}{6a^2} + \frac{b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a}})$

其中，$i$为虚数单位，$i^2=-1$。如果方程有一个重根，那么这个重根就是这三个实根中的一个，另外两个实根是共轭复数。

需要注意的是，一元三次方程的求根公式比较繁琐，适用于解决理论问题，而不适合实际计算。在实际应用中，常用迭代法、拉格朗日插值法、牛顿迭代法等数值计算方法来求解一元三次方程的近似解。这些方法具有计算简便、精度高等优点，被广泛应用于工程、科学、计算机等领域。

例如，可以使用牛顿迭代法来求解一元三次方程的根。该方法基于牛顿-拉夫森迭代法，通过不断迭代的方式逐步逼近方程的实根。具体步骤如下：

1.选取一个初始值$x_0$，计算$f(x_0),f'(x_0)$。

2.根据牛顿迭代公式计算下一个近似解$x_1$：

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

3.计算$f(x_1),f'(x_1)$，然后根据牛顿迭代公式计算下一个近似解$x_2$：

$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$

4.重复步骤3，直到达到所需的精度或迭代次数。

牛顿迭代法是一种简单有效的数值计算方法，适用于求解各种类型的非线性方程，包括一元三次方程。