设首项为 $a_1$，公比为 $r$，则等比数列的通项公式为 $a_n=a_1r^{n-1}$。
设等比数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，则有：
$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$
将通项公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 代入上式得：
$$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}$$
将等比数列的公比 $r$ 提取出来得：
$$S_n = a_1(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$
由等比数列求和公式可知：
$$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)$$
将上式代入原式得到：
$$S_n=\begin{cases}a_1\frac{1-r^n}{1-r}, & r \neq 1 \\na_1, & r = 1\end{cases}$$
因此，等比数列前 $n$ 项和的通项公式为 $S_n=\begin{cases}a_1\frac{1-r^n}{1-r}, & r \neq 1 \\na_1, & r = 1\end{cases}$，这就是等比数列求和公式。