黎曼-斯蒂尔切斯公式（Riemann-Stieltjes Integral Formula）是数学中一个重要的公式，它被广泛应用于复分析、数论和其他数学分支中。
具体来说，黎曼-斯蒂尔切斯公式用于计算函数$f(x)$和带权函数$g(x)$的积分，即：
$$\int_{a}^{b}f(x)d g(x) = \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}g(x)d f(x)$$
其中，$f(x)$和$g(x)$可以是复函数或者实函数，$a$和$b$为积分区间的端点。
在黎曼ζ函数的研究中，黎曼-斯蒂尔切斯公式被用于计算ζ函数在复平面上的非平凡零点。具体来说，公式中的$f(x)$可以表示为：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
而带权函数$g(x)$则为：
$$g(x) = \frac{x^{s-1}}{e^x-1}$$
其中，$s$为复平面上的参数。应用黎曼-斯蒂尔切斯公式可以得到黎曼ζ函数的非平凡零点满足：
$$\zeta(s) = 0$$
其中$s$为一个复数，而实部$\Re(s)$等于1/2。这个公式被称为黎曼-斯蒂尔切斯公式，它是黎曼猜想和其他数学难题的研究基础。