正弦定理公式

正弦定理公式

一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。正弦定理公式为a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径,D为直径)。


历史上,正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征,主要可以分为两种。

第一种方法可以称为 “同径法 ”,最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线(16世纪以前,三角函数被视为线段而非比值),利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角的对边,构造半径同时大于两边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化,只延长两边中的较短边,构造半径等于较长边的圆。17~18世纪,中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径法”。

18世纪初,“同径法”又演化为“直角三角形法”,这种方法不需要选择并作出圆的半径,只需要作出三角形的高线,利用直角三角形的边角关系,即可得出正弦定理。19世纪,英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1,相当于用比值来表示三角函数,得到今天普遍采用的 “作高法”。

第二种方法为“外接圆法”,最早为16世纪法国数学家韦达所采用。韦达没有讨论钝角三角形的情形,后世数学家对此作了补充。